מערכת משוואות ריבועית – שיטת ההצבהמתמטיקה כיתה ט' · פרק 9 – מערכות משוואות ריבועיות
מתמטיקה כיתה ט'
מערכת משוואות ריבועית – שיטת ההצבה
פרק 9 – מערכות משוואות ריבועיות
1📘 מה לומדים
2תרגיל 1
3תרגיל 2
4תרגיל 3
5תרגיל 4
📘 מה לומדים
מערכת משוואות ריבועית היא מערכת של שתי משוואות, שאחת מהן (לפחות) ריבועית. בכיתה ט' משוואה אחת היא קווית.
פותרים בשיטת ההצבה:
1. מבודדים נעלם אחד במשוואה הקווית.
y = x + 1
📐 שיטת ההצבה
2. מציבים אותו במשוואה הריבועית ופותרים משוואה ריבועית.
3. מציבים כל פתרון במשוואה המבודדת ומוצאים את הנעלם השני. בדרך כלל יש שני זוגות של פתרונות.
📐 שיטת ההצבה
מבודדים נעלם במשוואה הקווית ומציבים במשוואה השנייה
פתרון תרגיל 1 · תרגיל 1 – ישר ופרבולה
פתרו את מערכת המשוואות:
y = x + 1
y = x2 − 1
נציב y = x + 1 במשוואה השנייה:
x + 1 = x2 − 1
0 = x2 − x − 2
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 או x = −1
פתרון תרגיל 1 · תרגיל 1 – ישר ופרבולה · המשך
x = 2 או x = −1
נציב x = 2 ב־y = x + 1:
y = 2 + 1 = 3
נציב x = −1:
y = −1 + 1 = 0
פתרון תרגיל 1 · תרגיל 1 – ישר ופרבולה · המשך
y = −1 + 1 = 0
✅ פתרון סופי: (2 , 3) , (−1 , 0)
פתרון תרגיל 2 · תרגיל 2 – סכום ומכפלה
פתרו את מערכת המשוואות:
x + y = 5
x · y = 6
נבודד את y במשוואה הראשונה:
y = 5 − x
📐 שיטת ההצבה
נציב במשוואה השנייה:
x · (5 − x) = 6
5x − x2 = 6
📐 שיטת ההצבה
מבודדים נעלם במשוואה הקווית ומציבים במשוואה השנייה
פתרון תרגיל 2 · תרגיל 2 – סכום ומכפלה · המשך
5x − x2 = 6
x2 − 5x + 6 = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 או x = 3
נציב x = 2 ב־y = 5 − x:
פתרון תרגיל 2 · תרגיל 2 – סכום ומכפלה · המשך
נציב x = 2 ב־y = 5 − x:
y = 5 − 2 = 3
נציב x = 3:
y = 5 − 3 = 2
✅ פתרון סופי: (2 , 3) , (3 , 2)
פתרון תרגיל 3 · תרגיל 3 – עם סכום ריבועים
פתרו את מערכת המשוואות:
x − y = 1
x2 + y2 = 13
נבודד את x:
x = y + 1
📐 שיטת ההצבה
נציב במשוואה השנייה:
(y + 1)2 + y2 = 13
y2 + 2y + 1 + y2 = 13
📐 שיטת ההצבה
מבודדים נעלם במשוואה הקווית ומציבים במשוואה השנייה
פתרון תרגיל 3 · תרגיל 3 – עם סכום ריבועים · המשך
y2 + 2y + 1 + y2 = 13
2y2 + 2y − 12 = 0
נחלק ב־2:
y2 + y − 6 = 0
(y + 3)(y − 2) = 0
פתרון תרגיל 3 · תרגיל 3 – עם סכום ריבועים · המשך
(y + 3)(y − 2) = 0
y = 2 או y = −3
נציב y = 2 ב־x = y + 1:
x = 2 + 1 = 3
נציב y = −3:
פתרון תרגיל 3 · תרגיל 3 – עם סכום ריבועים · המשך
נציב y = −3:
x = −3 + 1 = −2
✅ פתרון סופי: (3 , 2) , (−2 , −3)
פתרון תרגיל 4 · תרגיל 4 – בעיה מילולית
סכום של שני מספרים הוא 10, ומכפלתם 21. מצאו את המספרים.
נסמן את המספרים ב־x וב־y:
x + y = 10
x · y = 21
y = 10 − x
📐 שיטת ההצבה
x · (10 − x) = 21
📐 שיטת ההצבה
מבודדים נעלם במשוואה הקווית ומציבים במשוואה השנייה
פתרון תרגיל 4 · תרגיל 4 – בעיה מילולית · המשך
x · (10 − x) = 21
10x − x2 = 21
x2 − 10x + 21 = 0
(x − 3)(x − 7) = 0
x = 3 או x = 7
פתרון תרגיל 4 · תרגיל 4 – בעיה מילולית · המשך
x = 3 או x = 7
נציב x = 3:
y = 10 − 3 = 7
שני הפתרונות נותנים את אותו זוג מספרים.
✅ פתרון סופי: 3 ו־7
📌 סיכום
שלב 1
מבודדים נעלם במשוואה הקווית
שלב 2
מציבים ופותרים משוואה ריבועית
שלב 3
מוצאים את הנעלם השני לכל פתרון
תשובה
בדרך כלל שני זוגות
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא